マイナスとマイナスをかけたらプラスであることについて
私は一時期、整数論を少しやっていたことがある。やっていた、とはいえ、実際のところはテキストの最初のほうを流し読みしたくらいで、実際のところは「なるほど、わからない」ということで、その整数論の教科書みたいなものを直しては諦めたりしている。
その中の古典的な内容の一つに「-1と-1は1になるのはなぜか、分配律より得られることを示せ」という問題が『初学者のための整数論』に載っている。これは、言ってしまえば整数に関する基本的な性質を前提としなければならない。使う規則は次のようになる。
- x + y = y + x, xy = yx (交換則)
- 0 + x = x, 1x = x
- x(y + z) = xy + xz (分配則)
さて、このとき私たちはこれ以外の規則を勝手に使ってはならないという縛りをつけておこう。逆に言えば、この規則ならどのように使っても良い。例えば、私たちは「任意の数に０をかければ０になる」ということを知っている。しかし、私たちはその規則を導きだしてはいない。従って、上の法則からその規則を導きだす必要がある。
- 「任意の数」をaと置き「任意の数に０をかければ０になる」と仮定する。このとき、上記の規則を認めるならば「a0 + a = 0 + a = a」となる筈である。
- (2)の規則より、aをa1と記述する。「 a0 + a1 = a0 + a」に式を変形することが出来る。
- 次に、分配則により 「a (0 + 1) = a0 + a」とすることができる。
- 計算すれば、a1 = a0 + aとなる。
- 再び(2)の規則により、a = a0 + a 6. 従って、これにより「任意の数に０をかければ０になる」ということが証明できた。
そこで、-1と-1をかけたら1になる、ということは、-1と-1の掛け算から1を引いたら０になると言い換えることができる。従って、「(-1)(-1) + -1 = 0」ということを証明すればよい。
- -1・1 + (-1)(-1) = 0 に変形する(規則2より)
- -1(1 + -1) = 0 に変形する（分配速より）
- -1 (0) = 0
- 0 = 0 (任意の数に０をかければ０になるので)
ここから「-1と-1の掛け算から1を引いたら０になる」ことが証明できた。このとき「-1 + 1 = 0」なので、「(-1)(-1) = 1 」としなければ、上記の式は成立しない。従って、「-1と-1をかけたら1になる」ということが証明できた。
教訓
私たちが物事を理解する時に「比喩的な推測」と「論証的な方法」の二つがある。「比喩的な推測」というのは、例えば直線を引き、マイナスをかけるということは、線の逆に同じ数があり、その数に変換する操作だと考える。二回行えば、逆の操作から逆の操作ということで、マイナスにマイナスをかければプラスになるという比喩が使えることになる。
しかし、このような比喩的な説明は、同じような混乱を引き起こすことがある。例えば「負数」が見つかった時、負数を認めない人達の間では「借金に借金をかけると財産になるということは到底理解できない」と攻撃されたことがある。比喩の例えば、同時に比喩の反論をくらってしまう。そうすると、どちらが正しいかという議論が難しくなってしまう。
もう一つの問題がある。
いわばマジョリティとしては比喩のほうが理解しやすいと思っているが、ごく一部には論証するほうが理解しやすいという人々がいる。このような人々というのは、実はむしろ数学が得意な人々であったりするのだが、しばしば数学が不得手な人に合わせた形で説得させられてしまう。そうすると、本来数学が得意だった人達は「私は数学が苦手なのか」と思い込まされてしまう。
そうやって、しばしば教育の場において、本来は数学が得意だが「数学が苦手だと思いこんでいる子ども」を生むという残酷な結果を招いてしまう。
